Теорема Пифагора, как и требование подать чашку, может не вызывать у нас никакого ощущения недоговоренности или неясности. Теперь уже нет оснований ни радоваться этому, ни удивляться. Ведь перед нами находится тот же самый айсберг с огромной подводной и чуть заметной верхней частью. Пока верхняя, словесная, часть уверенно зиждется на основе – все представляется простым и ясным. За терминами "треугольник", "гипотенуза", "катеты", "квадрат" кроется наш абсолютный опыт, связанный с вещественными физическими объектами, которые имеют вид деревянных или картонных фигур, чертежей или земельных участков и т.п. На фоне этого опыта формулировка теоремы не требует никаких дополнений, как на фоне охотничьей сторожки не требовала дополнений просьба о чашке. Однако возникает здесь и решающее различие. Если охотничья сторожка представляет собой вполне конкретную данность, то опыт обращения с геометрическими фигурами – треугольниками, квадратами и т.д. – отнюдь не конкретен. Между вещами и формулировкой теоремы проложена дополнительная словесная прослойка в виде терминов "треугольник", "квадрат" и пр. В самом деле, ведь при прочтении теоремы не играет роли, лежит ли перед нами чертеж, или деревянный угольник, или земельный участок. Физические объекты заменены терминами и именно на терминах, как на первооснове, высится в данном случае вершина айсберга – словесная формулировка теоремы.
      Математики никогда не задумывались над этими столь очевидными различиями. Не задумывались потому, что вопрос о нищете языка, о проекционном схематизме словесных текстов никем еще не затрагивался, а если и затрагивался, то лишь в философски обобщенной, туманной, практически не действенной форме. Отталкиваясь от таких простых и несомненно успешных мероприятий, как, например, разговоры о чашке в лесной сторожке, древние и средневековые рационалисты решили развивать успех дальше и приступили к разговорам о геометрических фигурах, о числах, об их взаимных отношениях. Увлеченные блеском своего ума, они пропустили тот критический момент, когда словесная вершина айсберга оторвалась от незыблемой подводной основы и понеслась по волнам океана, обрастая снизу все новыми и новыми словесными кристаллами, которым, однако, уже не за что было зацепиться: под ними простиралась немая глубина. В этой безвыходной ситуации неуклюже нарастающие словесные прокладки стали казаться (со страху, быть может?) достаточным основанием. Слова можно базировать на словах и извлекать таким образом новое полезное знание – вот принципиальная и совершенно ложная установка, определившая всю дальнейшую судьбу теоретической математики. Для того, чтобы претворить эту общую установку в реальные действия, древнегреческим ученым Евклидом был предложен знаменитый, а лучше сказать – печально знаменитый – аксиоматический метод.

      Напомним, в чем заключается суть аксиоматического метода. В качестве незыблемой основы для получения знаний выбираются некоторые словесные утверждения – аксиомы. Например, такие:
      Аксиома 1. Через каждые две точки А и В проходит единственная прямая линия.
      Аксиома 2. Каждые две прямые линии l и m пересекаются в единственной точке.
      И так далее. С помощью логических рассуждений из заранее перечисленных аксиом выводятся следствия – теоремы. Правильный, т.е. тщательно выверенный и приводящий к достоверным результатам, вывод теорем именуется доказательством. Если какие-то слова, прозвучавшие в тексте аксиом или доказательств, представляются не вполне ясными, то такие слова дополняются специальным определением. Определения, доказательства и теоремы – это самый главный и решающий инструмент теоретической математики. Без него все остальное становится тщетным и ненужным, потому что вне его математические знания сразу укладываются в общий ряд абсолютных или утилитарных, но заведомо опытных знаний. На таком уровне математика перестает отличаться, скажем, от географии. Географ вправе заявить, что "реки Волга и Кама имеют общую точку, возле которой и размещается город Казань". По отсюда вовсе не следует, и никто не будет пытаться доказать, что "реки Нева и Днепр тоже имеют общую точку, отмеченную городом N". Факты, связанные с взаимным расположением рек и городов, не доказываются, а выявляются и проверяются на месте с помощью наблюдения. Идея доказательства вообще не применима к опытному знанию, опирающемуся на очевидность. Для доказательства совершенно необходимо отсутствие очевидности и возможность извлекать эту очевидность из рассуждений, т.е. из слов. За такую-то возможность и цепляется математика, пожелавшая вырваться из общего ряда обычных эмпирических знаний.
      Поэтому перед учеными специалистами, работавшими в области математики, вставал такой выбор: либо обследовать каждую конкретную ситуацию, как географ обследует города и реки. И устанавливать – действует или не действует в данном случае замеченная закономерность, например, соотношение Пифагора? Либо отказаться от обследования реальности и утверждать, что в аксиомах 1 и 2 (или в каких-либо иных мыслимых аксиомах), речь идет не о конкретных вещах – не о камнях и бороздах на земельном участке, не о точках и линиях на листе бумаги, не о реках, не о городах и пр., – речь идет о предметах любой природы.
      В первом случае из рук математики выпадал ее главный инструмент – определения, доказательства, теоремы. Во втором случае инструмент сохранялся, но сохранялся именно потому, что реальность исчезла и ее заменили слова (определения, аксиомы), которые и подлежат теперь обследованию, т.е. служат материалом для конструирования доказательств и формулирования теорем.
      И выбор – имеет смысл сказать: роковой выбор – был сделан. В пользу второго варианта. В пользу аксиоматического метода, в пользу замены реальности словесными определениями и описаниями, в пользу объектов "любой природы".
      Конечно, это был ошибочный выбор. Вместе с ним в ткань общественного бытия вошел опаснейший вирус лжи. Человек обожествил свой ограниченный опыт, уравнял свой нищенский словарный запас с многообразием всей Вселенной, предался горделивому мракобесию рационализма.
      Некоторым слабым оправданием для когорты профессиональных математиков могло служить то обстоятельство, что числовые и геометрические соотношения часто обладают значительной общностью, благодаря которой обследование всех конкретных ситуаций становится действительно как бы ненужным. Например, для теоремы Пифагора не имеет значения, выделен ли прямоугольный треугольник на земле (с помощью прорытых борозд), на листе бумаги (с помощью прочерченных линии) или на небе (с помощью опорных звезд)... Но это кажущееся преткновение порождено обычной диалектикой общего и частного; оно не должно бы приводить в замешательство мыслителей, толпящихся у древа познания. Ведь отдельным конкретным объектом можно посчитать и атом, и песчинку, и камень, и дом, сложенный из камней, и город, состоящий из домов, и область, включающую в себя несколько городов. Но никакому здравомыслящему географу не придет же в голову называть на этом основании город или область "объектом любой природы". Всякий конкретный предмет, если взглянуть внутрь его, – многообразен и сложен, а если посмотреть на него снаружи – прост и един. И, разумеется, снаружи его обязательно окружает "иная природа". Так что объявлять во всеуслышание о "любой природе" изучаемого объекта – просто смешно.
      Но адептам аксиоматического метода было не до смеха. После того, как выбор в сторону лживой версии совершился, отсыпать было уже некуда. Приходилось во что бы то ни стало проталкивать именно объекты "любой природы", так как признание даже малого ограничения, даже малой конкретности сразу приводило к падению идеи доказательства. В самом деле, что же произойдет, если сохранится принятая система аксиом, но при других уже ограничениях, при другой конкретности? Если что-то изменится, то, значит, на доказательстве должны отразиться эти изменения. Но каким образом? Ведь доказательство базируется только на принятой системе аксиом, в этом вся суть его! А система осталась та же. Если же ничего не изменится, то, значит, – ура! – долой все конкретности, они несущественны, они неважны, значит, мы действительно говорим об объектах "любой природы".
      Исторически дело так именно и развивалось. Сначала аксиоматический метод выступал в относительно мягкой форме (Евклид), как попытка учесть некоторые "узловые моменты" теории, относящейся все же к реальным геометрическим сущностям. Но потом, по мере того, как становилось ясно, что из этих узловых моментов буквально ничего нельзя извлечь, если не опираться на внешний опыт, начали развиваться более жесткие, скрупулезно "строгие" математические аксиоматики. Силами многих выдающихся профессионалов эти аксиоматики развивались далее вплоть до явно заумных и выхолощенных математических формализмов, вплоть до современного компьютерного умопомрачения.

      Ради пояснения сказанного вернемся к нашим двум аксиомам. Если предположить, что точки А, В и прямые l, m – это предметы любой природы, то как прикажете понимать выражение "прямая l проходит через точки А и B"? Ведь "точками" и "прямыми" можно называть теперь не только камни и борозды, пропаханные на поле, но также участников конференции и дни их выступлений на проходящих заседаниях, или деревянные и каменные дома, чередующиеся в пригородном поселке, и т.п. Не вдаваясь в ненужные здесь подробности [7], заметим, что каждый из указанных вариантов можно подогнать под власть аксиом 1 и 2, но при этом термин "проходит" будет обозначать различные конкретные факты. Например, борозда "проходит" через булыжники, если эти булыжники валяются в борозде; день заседаний "проходит" через участника конференции, если этот участник выступает в означенный день; каменный дом "проходит" через два деревянных дома, если он расположен между ними и т.д.
      Короче говоря, аксиомы не исчерпывают ситуацию, если они описывают поведение "точек" и "прямых" с помощью термина "проходит", но не описывают поведение самого этого феномена "проходит" с помощью других аксиом и других терминов. Это примерно то же самое, что обрисовывать наружность человека, используя выражение "астротопен". Сможете ли вы узнать этого человека среди толпы других "неастротопных" людей? Сможете ли вступить с ним в полезный контакт? По той же самой причине невозможно узнать предмет, обрисованный аксиомами, в тексте которых содержатся астротопоподобные, т.е. лишенные содержательного смысла слова: "проходит", "пересекается" и пр. А не обнаружив предмет, нельзя о нем ничего и сказать, тем более – доказать.
      Если же встать на путь опредения, т.е. разъяснения всех использованных в аксиоме слов, то каждое следующее определение будет содержать в себе новые слова, которые в свою очередь потребуют определения. Пирамида пояснительных текстов начнет быстро разрастаться, основанием вниз, но дна никогда не достигнет, так как "дном" для нее могло бы послужить только подводное тело айсберга – опытное знание, инвариантная неопределенность.