Принимая, может быть, в общих чертах изложенные выше наблюдения и факты, современный образованный человек, т.е. человек, прошагавший по всем неотменимым ступеням общепринятого школьного рационализма, наверняка будет испытывать сомнения. "Хорошо, – подумает он, – пусть аксиоматический метод действительно несет в себе какие-то крупные изъяны, но как же быть с доказательством неоспоримых фактов? Как можно жить в этом мире, если ничего в нем нельзя доказать?"
Мы приглашаем такого читателя не спеша продвигаться вперед по ступеням новой, открывающейся перед ним "лествицы" и прежде всего познакомиться с техническими особенностями наиболее укорененных, наиболее расхожих математических заблуждений и обманов.
Предположим, что некий наблюдатель сообщает вам две аксиомы:
Аксиома 1. На каждом фасаде здания имеется два наружных входа.
Аксиома 2. Каждое здание имеет четыре фасада.
Получив эти аксиомы, вы тотчас формулируете теорему 1: "Каждое здание имеет восемь наружных входов".
И предлагаете следующее доказательство:
"Поскольку фасад здания имеет два наружных входа, и ситуация эта повторяется, по числу фасадов, четыре раза, то общее количество входов определяется расчетом: 2 х 4 = 8. Теорема доказана".
Заметим, прежде всего, что опытное знание о структуре постройки имел наблюдатель. Он – ваш посредник (ср.2, с.19). Причем, неизбежный посредник. Если бы вы могли сами обойти кругом и осмотреть все постройки, т.е. получить о них полное знание, то никаких теорем и никаких доказательств не потребовалось бы: там, где налицо очевидность, доказательства не нужны.
Свое опытное знание наблюдатель сообщил вам по частям: сначала о количестве наружных входов на фасаде, затем – о количестве фасадов. Следовательно, функция предстоящего доказательства – собрать опытное знание из его частей, как собирают цветную картину из камней мозаики.
Но при каких условиях эта функция действительно осуществляется?
Во-первых, вы должны верить наблюдателю, что он сообщил вам элементы достоверного знания. Значит, сначала вера, потом – доказательство.
Во-вторых, вы должны надеяться, что он сообщил вам все существенные элементы своего опыта. Если, например, здание имеет подвал, и из подвала идут подземные коридоры, ведущие в один или несколько окружающих флигелей, то теорема ваша сразу же рушится. Не потому рушится, что наблюдатель наврал вам, но потому, что он не все учел. Он сообщил вам элементы своего неполного опыта и этим ввел вас в заблуждение. Аналогично, он мог не известить вас, что часть здания покоится на колоннах, и в этих местах имеются лестницы, которые приводят к скрытому наружному входу прямо на второй этаж. Он мог не известить вас также, что здание имеет внутренний двор-колодец. И в этом дворе расположено несколько входов, и т.п. Во всех подобных случаях ваша теорема – недостоверна.
В-третьих, наконец, вам необходима уверенность в том, что все слова, использованные в аксиомах, и вы и ваш посредник понимаете одинаково, что вас нигде и ни в чем на разделяет проекционный схематизм, неизбежный при использовании и толковании отдельных слов (см.4, с.29). Например, нужно быть уверенным, что наблюдатель называет "фасадом" не только основную и протяженную плоскость стены здания, но и те небольшие плоские или закругленные срезы, которые иногда встречаются при переходе от главного фасада к боковому. На них ведь тоже могут располагаться входы. Далее нужно знать, что если на таком срезе действительно располагается вход, то он причисляется только к главному, или только к боковому фасаду, иначе счет сразу собьется. Нужно быть уверенным, кроме того, что текст первой аксиомы означает: "имеется два и только два входа"; но ни в коем случае не означает: "имеется по крайней мере два входа". Ведь в тексте аксиомы это различие не выявлено. Следует договориться также о смысле выражения "каждое здание", т.е. имеются ли в виду все постройки, расположенные на обозреваемом участке, или же постройки эти делятся на "здания", "дворцы", "башни", "гаражи", "флигеля" и т.д. Договариваясь обо всем этом, нужно не упустить из вида смысл тех слов, которые входят в ваш договор, т.е. заключить "договор о тексте договора", затем «договор по тексту „договора о тексте договора"» и т.д.
В конце концов мы убеждается, что теорема 1 и доказательство ее являются плодом легкомыслия, либо обмана. Они заведомо недостоверны. Они могут стать достоверными лишь в том случае, если и вы и ваш посредник имеет в виду совершенно конкретную ситуацию, опыт обращения с которой дает вам необходимое полное знание. Посреднику это полное знание необходимо для подбора аксиом: они не должны вводить вас в заблуждение. А вам полное знание необходимо для доказательства: о чем следует говорить, о чем допустимо умолчать. Вы, как умелые фокусники, делаете вид, что собираете опытное знание из его частей (теорему получаете из аксиом), а в действительности части (аксиомы и теорема) выкраиваются из готового целого. Не из камней собирается мозаичная картина, а по готовой картине изготавливается ее частичная копия. Результат процедуры заранее спрятан у вас в кармане, а если бы это было не так, то вам бы и в голову не пришло формулировать теорему, ибо оставался бы еще целый ворох предварительных вопросов: нет ли подвальных переходов к флигелям, нет ли скрытых входов на второй этаж, нет ли дворов-колодцев, что называется "фасадом", что называется "зданием"? И т.д. Исчерпать эти вопросы в словесных объяснениях невозможно (тщета слов!). А не исчерпав их, нельзя приступать к достоверным утверждениям и доказательствам. Остается только сделать вид, что никаких вопросов вообще не возникает. В этом и заключается техника фокуса, техника примитивного математического обмана, продемонстрированного на выше приведенном, подчеркнуто простом примере. Но увы! Обман этот общеупотребителен, он отшлифован в течение веков и принят на вооружение расхожим здравым смыслом. Он до такой степени привычен, что находится как бы за гранью тех явлений, которые способны привлекать к себе общественное внимание.
Все теоремы математики, которые используются на практике, являются элементами опытного знания. Мы уже заметили, что и абсолютное и утилитарное опытное знание может обеспечивать достижение желаемых практических результатов, поэтому не стоит удивляться успехам прикладной математики, где бы они ни были обнаружены. Не только математика, но и физика, химия, биология, медицина, даже психология и социология и пр. имеют, как известно, широкий спектр практических приложений, хотя они лишь в исключительных случаях совершают неуклюжие и всегда неудачные попытки подражать математике: формулировать теоремы и сопровождать их "доказательствами". Отсюда видно, что освобождение математики от мало пристойных теоретических фокусов не грозит ей никаким крушением в чисто практическом плане. Если теорема Пифагора позволяет нам при известных условиях вычислять площадь квадратного участка земли, когда площади двух других участков уже известны, то она будет позволять нам совершать эту операцию и после того, как мы перестанем называть ее "теоремой" и забудем ее "доказательство". Вместо теоремы Пифагора останется правило Пифагора, весьма полезное, как полезны, скажем, правила рычага или закон Гука. В этой связи уместно напомнить, что математические теоремы, т.е. выраженные словесно элементы опытного знания, рождались всегда именно в подобающем им статусе – как результат повторных наблюдений или экспериментов, иногда – как опережающая наблюдения догадка. Они ничем не отличались в этом смысле от всех других научных законов и правил. И лишь впоследствии происходила торжественная процедура коронования и возведения в абсолютное достоинство: совершалось "строгое доказательство" теоремы. Легко видеть, что в этот момент в абсолютное достоинство фактически возводился примелькавшийся самозванец – гонимый тщеславной жаждой признания рационализм.
Никакого крушения прикладной математики не приносит и отказ от паутины "точных определений". Точные определения – это широко разрекламированный интеллектуальный наркотик. Очень привычно думать, что при отсутствии необходимых четких определений доказательство теоремы провести невозможно или оно оказывается некорректным. Но если корректных доказательств, как мы убедились, вообще не существует, то какую же роль играет система предшествующих скрупулезных определений? Ясно, что это тоже обман, многократно уже обрисованный в образной форме на протяжении предыдущего изложения. Определение – это система словесных прокладок, которые либо упираются в основу айсберга – в опытное знание, инвариантную неопределенность – либо беспомощно повисают над глубиной. В первом случае не требуется никакой точности, кроме живой и всегда простой связи с предметом. Во втором случае не приносят облегчения никакие уточнения и нагромождения: это якорная цепь, которая не имеет конца.
Вернемся, например, еще раз к теореме Пифагора. Как определить понятия "гипотенуза" и "катеты", прозвучавшие в ее условии? Если перед нами лежит чертеж треугольника или какой-либо предмет треугольной формы, то можно просто показать: "эта сторона – гипотенуза, а остальные – катеты". Такое определение вполне пригодно для любых практических целей. Если, однако, реального треугольника поблизости нет, но имеется набор предварительных знаний, упирающихся в реальный прямоугольный треугольник, то придется несколько расширить наше определение: "гипотенуза – это сторона, расположенная напротив прямого угла" и пр. Такие определения тоже вполне подходят для взаимных объяснений, хотя в них уже фигурируют дополнительные словесные прокладки. Но если реального треугольника нет вообще, а вместо него предлагается система аксиом, из которой его якобы возможно извлечь, то дело безнадежно. Из системы аксиом нельзя извлечь ничего – это словесная пустышка.
Современная теоретическая математика являет собой богатый паноптикум подобных пустышек. Пленники "образованщины" входят с непокрытыми головами в этот музей восковых фигур. Но даже для тех, кто дорожит как святыней многочисленными техническими применениями математических результатов, ничего не будет потеряно, если музей завтра же навсегда закроется, а в математических учебниках запестрят определения только такого типа: "эта сторона – гипотенуза, а остальные – катеты".
Возникает естественный вопрос: не являются ли математические заблуждения, и обманы делом узкого круга специалистов? Если прикладная математика как чисто опытная наука может безболезненно продолжать свое развитие, то какое значение имеют проблемы теоретиков в области аксиоматического метода, определений и доказательств? Стоит ли прикасаться к этим проблемам, а тем более – разбираться в них, людям, не связанным непосредственно с решением математических задач?
Вспомним, однако, о предмете наших забот – о ЗНАНИИ, которое является товаром повседневного спроса. Оно, как было сказано, притекает к нам многими путями и особенно интенсивно формируется, в частности, в процессе школьного образования. Именно благодаря школьному образованию вырабатывается густо проложенный фон так называемых общепринятых истин. Тех самых истин, которые всегда стоят у нас за плечами и потому играют роль "серого кардинала" – роль незаметной, но фактически решающей инстанции. И вот оказывается, что заблуждения и обманы теоретической математики сплошь и рядом стоят у нас за плечами и решают судьбу. Современное цивилизованное общество пролагает свои исторические пути, пользуясь компасом математического рационализма. Отнимите этот компас, и корабль цивилизации закружится около своей оси. Потеряет курс, ляжет на бок. Разбираться в проблемах теоретической математики действительно не стоит, но прикоснуться к ним, чтобы почувствовать, как под пальцами осыпается песок, – просто необходимо. Мы пытались показать это на предыдущих страницах и намереваемся продолжить начатую работу на протяжении всего последующего изложения.