Школьное математическое образование порождает представление о наличии исчерпывающих полных знаний.
      "Дважды два – четыре", – и дело с концом.
      "Длина окружности равна длине радиуса, умноженной на 2p" – что здесь отнимешь или прибавишь?
      Множество подобных избитых истин заполняет наш мир, укрепляя ощущение стабильности и непререкаемости. Ощущение это вскоре становится привычным, перестает привлекать к себе какое бы то ни было внимание. Это тот густо промасленный холст, на котором художнику – нашему воображению – предстоит рисовать дальнейшую картину мира.
      Однако основа эта оказывается призрачной. Само слово или понятие "знание" связано с неизбежной иллюзией, с эффектом проекционного схематизма, о котором уже было сказано (см.4, с.29). Знание как опыт, переживаемый здесь и сейчас, в некотором смысле всегда можно считать исчерпывающим и полным. Этот опыт (внутренний или внешний – все равно) содержит то и только то, что раскрылось в данном мгновеньи, и в этом смысле он всегда полон. Вот вы измеряете длину этой окружности, измеряете длину этого радиуса и делите одно на другое. Получаете число 6,28. Полное, исчерпывающее знание!
      Но если вы опираетесь на конкретный опыт, а знанием называете опыт, относящийся ко всем окружностям, ко всем радиусам и всем измерениям, то вы впадаете в проекционную иллюзию, т.е. даете заявку на длинный, безконечный ряд элементов, а держите в руках лишь один из них. В таком случае, чтобы укрепить и удостоверить свое "знание", необходимо научиться узнавать и выделять элементы длинного ряда, т.е. предварительно определить, чем окружность отличается от эллипса и других возможных кривых, какой отрезок заслуживает названия "радиус", что представляет собой операция измерения длины прямых и кривых линий и т.д. Тотчас, как мы уже убедились начинает разрастаться пирамида словесных определений, не имеющая конца, и ни о каком полном знании говорить не приходится.
      Можно, правда, вовсе не прибегать к определению, а пользуясь известными инструментами, снова и снова вычерчивать окружность и вычислять ее длину, сравнивать ее с длиной радиуса. Но и этот повторяющийся опыт никак нельзя назвать "полным знанием".
      Ведь если вы, например, снова и снова встречаете Тихона Петровича, идущего в коричневой шляпе, то этот повторяющийся опыт, это постоянное сочетание Тихона Петровича с его коричневой шляпой вам не придет в голову оценивать как полное исчерпывающее знание. Даже если вы встречаете его каждый день, даже если встречи длятся год или два подряд – все равно ясно, что завтра Тихон Петрович, может быть, появится в черной шляпе, синей или белой фуражке и т.п. И если коренное отличие конкретного, хотя бы и многократно повторяющегося опыта от полного знания кажется очевидным на примере коричневой шляпы, но становится туманным или неприемлемым на примере окружности, то это лишь свидетельствует об укорененности иллюзий, впитанных с молоком математического "образования". Вырывая с корнем эти опутавшие нас плевелы, сбрасывая с плеч тяжесть давно привычного груза, необходимо ясно увидеть и признать, что:
      Полное знание никогда не может быть выражено словами.
      Полное знание требует нашего слияния с окончательной целостностью предмета, т.е. с миром сущего, т.е. со всей Вселенной.
      Возвращаясь от этих возвышенных строк к примитивному примеру с коричневой шляпой, не так уж трудно подметить, что правильная оценка ситуации, т.е. оценка нашего знания по данному вопросу, требует не только подробного знакомства со всем бытом, со всем укладом жизни Тихона Петровича, не только сведений о его вкусах, о вкусах его родных, о их заработках, праздничных днях, привычках, но также о всех внешних мелких и крупных случайных обстоятельствах, о всех тех перипетиях жизни и дуновениях Вселенной, которые могли бы повлиять на изменение головного убора Тихона Петровича и позволили бы нам претендовать на действительно полное знание об этом предмете. Понятно также, что подобный набор сведений невозможно заключить в словесную формулировку.
      Более того: чем глубже наше невежество в этой области, т.е. чем меньше видим мы реальных факторов, способных повлиять на смену головного убора, тем охотнее склоняемся мы к мысли о своей полной осведомленности: "Тихон Петрович носит коричневую шляпу, и так всегда, за некоторыми еще не до конца исследованными исключениями". Именно в этом смысле крайне уместно подчеркнуть, что неизбежным спутником "полного знания", его неотступной тенью, является плохо осознанное наше невежество.
      Следовательно, упорно внедряемые со школьной скамьи исчерпывающие представления о внешнем мире, например, о соотношении длины окружности и ее радиуса, надлежит рассматривать не как основу и образец для дальнейших рассуждений, а как верный признак умственного убожества. Ибо мы даже и помыслить не можем, какие факторы способны были бы повлиять на замену этой навсегда нахлобученной на нас математической шляпы.
      А между тем, последите при случае за учебным полетом парашютиста, спрыгнувшего с самолета. Пока парашют еще не раскрыт, летчик видит, как курсант падает вниз по отвесной прямой. А вы, стоя на земле, замечаете еще и движение его по инерции, и скажете поэтому, что падение происходит по кривой траектории. Кто же из вас, наблюдателей, прав?
      Или посмотрите на фотографию, на которой запечатлен в виде растянутого эллипса круглый бассейн. Представьте человечка, живущего в мире этой фотографии и измеряющего в этом мире длину "своей" окружности и "своего" радиуса. После сравнения результатов, кто окажется прав – он или вы? В чем заключается секрет таких дискуссий и таких фокусов? И разве реальная действительность слишком немощна, чтобы в любое время и в любом месте нам их преподнести?

      Представление о полноте математических знаний не только вовлекает нас в иллюзии, но нередко заставляет совершать более или менее утонченный подлог. Например, находясь в запутанной жизненной ситуации, вы восклицаете, обращаясь к товарищу:
      Неужели ты не можешь понять? Это же ясно и неоспоримо, как дважды два четыре!
      Говоря так, вы совершаете вольный или невольный подлог.
      Подлог заключается в том, во-первых, что выражение "дважды два – четыре" не может считаться образцом неоспоримого и ясного знания, так же точно, как выражение "словарь – это лексикон" или "супруга – это жена". Во всех подобных случаях одному и тому же предмету приписываются два различных словесных обозначения. И в этом, конечно, нет никаких элементов знания. О чем здесь можно спорить, на что полагаться или что выяснять?
      Подлог заключается в том, во-вторых, что операция чисто лингвистическая – выбор синонимов – осуществляется над специальным предметом, над числами, и потому невольно воспринимается как операция математическая.
      Сущность совершаемого подлога особенно ярко проявляется и в том обстоятельстве, что обманная неоспоримость одной обманной математической операции используется для вящего подтверждения полноты математических знаний вообще. И, наконец, эта воображаемая полнота как бы невзначай проектируется уже и на всю область человеческих знаний: "Неужели не соображаешь? Это же неоспоримо, как..." То есть, прямо говоря: бесспорность и полнота, доступная математике, конечно, доступна – и должна быть достигнута! – при всех других обстоятельствах. Об этом последнем этапе совершаемого подлога не только не говорят, но даже и не задумываются, как не говорят и не задумываются о земле, простирающейся под ногами идущего: "А как же иначе?"

      Итак, полнота знания, т.е. его достоверность, т.е. его причастность к истине, практически, или лучше сказать житейски, заведомо недостижимы.
      На одном полюсе, снизу, находится непосредственно переживаемый опыт, который условно полон лишь постольку, поскольку он ограничен субъективным восприятием. Так, сделав глоток воды из ведра, можно утверждать, что это – полный глоток, хотя по отношению к ведру взята лишь ничтожная часть воды.
      На другом полюсе, сверху, речь идет о слиянии со всем мирозданием, т.е. о Божественном, но отнюдь не человеческом ведении. И в том и в другом случае полнота знания невыразима в словах, ибо даже самое малое субъективное восприятие превосходит эту тщетную и нищую меру.
      Роль теоретической математики, обусловленная всем ее историческим развитием, как раз и сводится к тому, чтобы завуалировать этот кардинальный факт, отвести от него общественное внимание и создать вокруг всех форм познания – в особенности, конечно, вокруг научного познания – ореол полноты, благополучия и если не окончательной, не исчерпывающей, то во всяком случае удовлетворительной, "почти математической" достоверности. Идея "асимптотического приближения" к истине стала самым расхожим штампом, который позволяет, с одной стороны, избежать слишком уж абсурдного утверждения о полноте наших знаний, а с другой стороны, дает возможность спокойно принять эту нехватку, поскольку она представляет собою некую хотя и досадную, но узенькую щелку, быстро и незаметно сходящую на нет. Здесь необходим конкретный пример. Его нетрудно найти, открыв буквально любой литературный источник, имеющий отношение к затронутой теме. Вот посмотрим, как обрисовывает свою позицию видный современный специалист в области футорологии и геополитики.
      "Не может быть абсолютного знания и единственной интерпретации", – справедливо и уверенно утверждает он в одной из своих журнальных работ. Однако к этому прямо высказанному тезису тут же присоединяется смягчающая добавка:
      "Нельзя отбрасывать мыслителей прошлого, как и их интерпретации, понимая одновременно и недостаточность ими сказанного".
      Тоже верное замечание. Но как принять оба утверждения вместе взятые? Как их согласовать друг с другом. Можно ли успешно компенсировать эту нехватку, эту недостаточность, обнаруженную нами у мыслителей прошлого? О, разумеется! Для этого:
      "Необходима организация, опирающаяся на лучшие мозги нации. Управление должно быть в руках профессионалов, которые сумеют разобраться в происходящем и отделить утопии от реальных возможностей".
      Обратите внимание, как медленно, но верно поворачивается штурвал в нужную сторону. Оказывается, не страшна нам никакая недосказанность и недостаточность, если только собрать "лучшие мозги" и поручить дело "профессионалам". Видимо, мыслители прошлого просто не соответствовали этим критериям, И для того, чтобы, засучив рукава, приступить к делу, недостает пока только одного: "удовлетворительного научного фундамента, объединяющего социологические и экономические исследования".
      Вот и все. Штурвал повернут, круг завершен. Асимптотическое приближение к научной истине, ничуть практически не затронутой "отсутствием абсолютного знания", будет продолжено трудами усердных исследователей после размещения их всех на "удовлетворительном научном фундаменте".
      Приведенный пример, совершенно случайно выбранный из огромного контекста современной научно-философской публицистики, прекрасно иллюстрирует типичную позицию специалиста, работающего на высшем уровне. Он уже отошел, конечно, от первоначального рационализма эпохи "Просвещения" и готов метнуть несколько критических стрел в сторону наивной абсолютизации знаний, но это лишь душистая сигара в перерыве между серьезными занятиями. А приступая к серьезным делам, ученый прежде всего вспоминает "великий завет о том, что никакая теория не может удовлетворять современным стандартам, если в ней нет хорошей математической канвы". И далее требует "четко определить понятия", "принять утверждение как аксиому" и, вооружившись всеми привычными доспехами нести "ответственность, которая лежит на плечах научной интеллигенции" [8].
      Оставим же научную интеллигенцию сгибаться в академических креслах под бременем своей ответственности (она действительно велика!) и обратимся к продолжению наших размышлений – теперь уже к вопросу о неполном знании.