background image
C
M
Y
K
четверг
k
102, 9 сентября 2010 г.
Выпуск 72
В МИРЕ МАТЕМАТИКИ
Предложенное Уайлсом доказа
тельство Великой теоремы Ферма
(ВТФ) опирается на доказательство ги
потезы, родившейся в 50 е годы XX
века. Его рассуждения используют ряд
математических методов, созданных за
последнее десятилетие, в том числе им
самим. Доказательство Уайлса ше
девр современной математики, что не
избежно приводит к заключению: оно
не совпадает с доказательством Фер
ма. Ферма написал на полях своего
экземпляра Арифметики Диофанта,
что недостаток места не по
зволяет ему привести дока
зательство. Доказательство
Уайлса занимает 100 стра
ниц убористого математи
ческого текста и заведомо
удовлетворяет критерию
Ферма (это доказательство
невозможно воспроизвести
на полях Арифметики), но
Ферма не были известны ни
модулярные формы, ни ги
потеза Таниямы Шимуры, ни
группы Галуа, ни метод Ко
лывагина Флаха.
Но если у Ферма не было
доказательства Уайлса, то
что у него было? Математи
ки разделились на два лаге
ря. Твердолобые скептики
склоняются к мнению, что
ВТФ была результатом ред
кого момента слабости ма
тематического гения XVII века. Они ут
верждают, что хотя Ферма и написал
на полях Арифметики Диофанта: Я
нашл поистине удивительное доказа
тельство, в действительности он на
шл доказательство, содержавшее
ошибку. Вполне возможно, что доказа
тельство Ферма строилось примерно
так же, как доказательство Коши и
Ламе. (По мнению Куммера, основная
проблема заключалась в том, что дока
зательства Коши и Ламе опирались на
использование свойства целых чисел,
известного под названием единствен
ности разложения на простые множи
тели. <> Куммер показал, что полное
доказательство Великой теоремы Фер
ма лежало за пределами возможно
стей существовавших математических
подходов. Это были блестящий обра
зец логики и в то же время чудовищ
ный удар по целому поколению мате
матиков, питавших надежду, что имен
Уайлс и Великая теорема Ферма
Истину можно узнать по простоте и изяществу
Истина всегда оказывается проще, чем можно было бы предположить.
Ричард Фейнман
но им удастся решить самую трудную в
мире математическую проблему)
Другие математики, назовм их ро
мантическими оптимистами, убежде
ны в том, что Ферма мог найти какое то
гениальное доказательство. Каким бы
ни было это гипотетическое доказа
тельство, оно должно было быть осно
вано на методах XVII века, и использо
вать аргумент настолько тонкий, что он
ускользнул впоследствии от всех от
Эйлера до Уайлса. Несмотря на публи
кацию доказательства Уайлса, суще
ствуют много математиков, которые
уверены в том, что им удастся добить
ся широкого признания и славы, от
крыв первоначальное доказательство
Ферма
Вполне возможно, что все методы,
необходимые для доказательства ВТФ,
уже имелись в распоряжении матема
тиков, и что единственным недостаю
щим ингредиентом был какой то ост
роумный ход. Уайлс не собирался сда
ваться: детская мечта о доказатель
стве Великой теоремы Ферма превра
тилась в глубокое и серьзное увлече
ние. Ознакомившись со всем, что мож
но было узнать о математике XIX века,
Уайлс решил взять на вооружение ме
тоды XX века
Герхард Фрей сделал сенсацион
ный вывод о том, что если бы матема
тикам удалось доказать гипотезу Тани
ямы Шимуры, то они автоматически
доказали бы ВТФ
Мне (Уайлсу.
А.Б.) сразу стало
ясно, что отныне весь ход моей жизни
круто изменился: ведь от доказатель
ства ВТФ меня отделяло теперь только
одно препятствие: доказательство ги
потезы Таниямы Шимуры...
Мне выпало счастье осуществить в
моей взрослой жизни то, что было меч
той моего детства. <> Доказав ВТФ,
я не мог не ощутить чувство потери, но
в то же время меня охватило чувство
бескрайней свободы. На протяжении
восьми лет я был настолько поглощн
е доказательством, что не мог думать
ни о чм другом. Я думал о теореме
Ферма вс время с утра до ночи. Для
размышлений об одном и том же
срок очень долгий. Теперь эта одиссея
подошла к концу. Мой разум обрл
покой
Из представленного Уайлсом до
казательства ВТФ мы узнали, что
уравнение Ферма не допускает
решений в целых числах пото
му, что любое такое решение
привело бы к противоречию с
гипотезой Таниямы Шимуры.
Уайлс не только ответил на
вызов Ферма, но и обосно
вал свой ответ, указав, что он
должен быть таким, а не дру
гим, чтобы не нарушить фун
даментальное соответ
ствие между эллипти
ческими кривыми и мо
дулярными формами.
Априорность, голословность и беспре
кословность этого заключения пока
зывают, что предмет доказательства
Уайлса составила лишь гипотеза Тани
ямы Шимуры, к ВТФ не причастная.
При чтении II книги Арифметики
Ферма наткнулся на целую серию на
блюдений, задач и решений, связан
ных с теоремой Пифагора и пифагоро
выми тройками. <> Он знал, что за
много веков до него Евклид доказал,
что число пифагоровых троек беско
нечно велико. <> Ферма вс старал
ся заметить нечто такое, что ускольз
нуло от древних греков. Внезапно ему
пришла в голову гениальная мысль,
обессмертившая имя князя любите
лей: Ферма придумал уравнение,
очень похожее на уравнение Пифаго
ра, но не имевшее ни одного решения в
целых числах! Именно об этом уравне
нии и узнал десятилетний Эндрю Уайлс,
заглянув в книгу Белла, взятую в пуб
личной библиотеке на Милтон роуд.
Вместо уравнения Пифагора
2
2
2
z
y
x
=
+
Ферма занялся рас
смотрением его варианта
3
3
3
z
y
x
=
+
. Ферма всего лишь
изменил степень на единицу, но его
новое уравнение, насколько можно
было судить, вообще не допускало ни
каких решений в целых числах. Мето
дом проб и ошибок нетрудно было об
наружить, что найти два куба, которые
бы в сумме давали ещ один куб, не
так то просто. Неужели произведн
ное Ферма незначительное изменение
действительно превращает уравнение,
допускающее бесконечно много реше
ний в целых числах, в уравнение, не
имеющее ни одного решения в целых
числах? Ферма подверг уравнение Пи
фагора ещ большему изменению, по
пробовав заменить степень n =2 на це
лые числа бoльшие 3, и обнаружил, что
найти решение в целых числах каждого
из этих уравнений столь же трудно. И
Ферма решил, что вообще не суще
ствует трх целых чисел x, y, z, которые
удовлетворяли бы уравнению Ферма
n
n
n
z
y
x
=
+
, где n = 3, 4, 5, ... .
На полях Арифметики Диофанта,
рядом с задачей 8, Ферма оставил та
кое замечание: Невозможно для куба
быть записанным в виде суммы двух
кубов, или для четвртой степени быть
записанной в виде суммы двух четвр
тых степеней, или, в общем, для любо
го числа, которое есть степень больше
двух, быть записанной в виде суммы
двух таких же степеней. Не было при
чин, по которым среди всех целых чи
сел не должно было бы существовать,
по крайней мере, одной тройки целых
чисел, удовлетворяющих уравнениям
Ферма, тем не менее
Ферма утверж
дал, что во всм бесконечном мире
чисел нет ни одной тройки Ферма.
(Выделено мной.
А.Б.) Утверждение
было весьма необычным, но Ферма
полагал, что располагает его доказа
тельством. После первой заметки на
полях, наметившей общие контуры те
ории, гений, любящий позабавиться над
коллегами математиками, начертал
ещ один комментарий, над которым
впоследствии ломало голову не одно
поколение математиков: Я открыл это
му поистине чудесное доказательство,
но эти поля для него слишком малы. В
этом весь Ферма, вс то, что особен
но раздражало современных ему мате
матиков. Из его собственных слов мож
но заключить, что он весьма доволен
своим поистине удивительным до
казательством, но ему и в голову не
приходит дать себе труд написать под
робности доказательства и уж тем бо
лее опубликовать его. Он так никому и
не рассказал о свом доказательстве,
но, несмотря на характерную для Фер
ма комбинацию лени и скромности,
Великая теорема Ферма, как е стали
называть позднее, обрела неслыхан
ную славу в грядущих веках
Утверждение Ферма об ирреально
сти тройки Ферма основано на мето
де координат. В ортогональной систе
ме декартовых координат x, y на плос
кости существование пифагоровой
тройки x, y, z обусловлено выражением
целочисленного радиус вектора z на
координатных осях посредством цело
численных координат x, y и y, x. Диа
лектичность пифагоровой тройки пре
допределена принадлежностью урав
нения Пифагора прямоугольному тре
угольнику и кругу. Любые другие трой
ки целых чисел в уравнении вида
x
n
+ y
n
= z
n
адиалектичны.
Диофантово уравнение
x
n
+ y
n
= z
n
(уравнение Ферма) при n >2 не разре
шимо в целых числах по двум основа
ниям (Город науки, 55):
за ирреальностью тройки Фер
ма в поле троек целых чисел x, y, z
(рис. 1);
за неаддитивностью уравнения
x
n
+ y
n
= z
n
t
при n >2 с единственно
диалектичными пифагоровыми тройка
ми любых форм подобия (рис. 2).
В конструктивной математике пифа
горовы тройки суть элементарные кон
структивные объекты
. Их разрешимое
множество
до
z
=52, объективирован
ное по принципу конструктивного под
бора
(принципу Маркова) при посред
стве компьютерной программы инже
нерной графики ACAD и замкнутой кри
вой
Pline, обнаруживает геометриче
скую модель (Город науки, 38, 42),
которую, собственно, и открыл
Фер
ма Комментарий после первой за
метки на полях завет десяткам поко
лений коллег математиков, а равно и
анонс фактически осуществлнной, без
малого четырхсотлетней забавы
Пьера Ферма.
С сочувствием мировому математи
ческому сообществу и Эндрю Уайлсу,
Аркадий БАХМУТОВ,
лауреат Ленинской премии
автор узнал только через несколько лет, а экза
мен зачли
А почему, с вашей точки зрения, бывший
сотрудник вашего института Григорий Перельман
отказался от международной премии в миллион
долларов, давно объявленной за доказанную им
теорему?
Он вовсе не отказывался, е ему не присудили,
потому что он не написал о свом решении теоремы
книги. А теперь такую книгу (о решении Перельма
на) пишет в США китайский математик Яо, многое
укравший у других ранее и получивший Фильдсов
скую медаль и премию. За эту книгу они и собирают
ся дать ему миллион долларов (по уставу фонда
через два года после публикации книги). Другая
фирма уже заплатила ему другой миллион за то,
чтобы он книгу о работе Перельмана написал
Верно ли утверждение, что скоро лидером
мировой математики станет Китай?
Если я правильно понимаю политику Китая в
отношении математики, то они стремятся не за
нять первое место в мире, а прибрать к рукам всю
математику США, поставив всюду начальниками
своих эмигрантов, вроде Яо. Американцы уступа
ют потому, что школьная подготовка у них черес
чур слаба, чтобы конкурировать с выпускниками
китайских, индийских и русских школ. Там все
знают, что половина больше трети, тогда как в
школах США разделить 5/4 на 1/3 из учителей
математики могут в некоторых штатах лишь
1 процент, в некоторых 2 процента, и не больше.
С вашей точки зрения, введение Единого
госэкзамена поможет появлению в России новых
математических гениев?
ЕГЭ доказал свою непригодность, когда я
проэкзаменовал успешно его прошедших школь
ников обычным образом. Оказалось, что эти ус
пешно прошедшие ничего не знают и не умеют.
Удручающая статистика этого официального экс
перимента, к сожалению, до сих пор засекречена.
Надо бы е опубликовать! Хотя результат введе
ния этого очковтирательства скажется не сразу,
оно приведт со временем к серьзному падению
сперва интеллектуального уровня страны, затем
индустриального, а впоследствии и оборонного.
Это тоже почему то засекречено.
Когда вы критиковали реформу нашего
школьного образования, находили ли вы поддер
жку среди депутатов или политиков?
Интересно, что при обсуждении в Думе
вопроса о школьном образовании мо мнение о
необходимости сохранения хорошего школьно
го образования поддержали военные и комму
нисты, а против выступили либералы. Они обви
няли меня в наступлении на права человека (а
именно, на права наших школьников ничего в
школе не делать, подобно американским школь
никам).
Может ли сегодня стать академиком срав
нительно молодой человек как Григорий Пе
рельман?
На последних выборах, в мае 2006 года,
Григория Перельмана почему то не выдвинули в
академики. Но и среди выдвинутых было немало
таких, которые гораздо лучше избранных. Это
тоже всемирное явление Участвуя в выбо
рах в РАН, я был поражн тем, насколько близко
мы подошли к мировому уровню. Дело в том, что
повсеместная борьба обществ и правительств
против науки, культуры и образования все
мирное явление. Опасаться компетентных со
перников очень естественно для принимающих
решения начальников. Но в этом общемировом
процессе Россия, по моему мнению, отстат
(к счастью) на несколько десятков лет.
Российской математике удалось сохранить
свои позиции?
Да, она остатся одной из лучших, если не
лучшей в мире, только многие е представители
живут теперь там, где за их работу платят в
сотню другую раз больше, чем у нас.
Почему нам удалось в советское время
сделать рывок вперд?
Парадоксальный шаг вперд математики
в России после большевистского переворота
объяснялся тем, что ретрограды старики ус
тупили место молодым и необученным, но
талантливым людям, дорогу которым не заго
раживали больше ни Высшая аттестационная
комиссия (ВАК), ни даже экзамены. Достаточ
но было вместо экзамена написать самостоя
тельную научную работу с новыми результа
тами для науки. Мой учитель Андрей Никола
евич Колмогоров двадцатилетним студентом
не сдал ни одного из 14 предметов, а написал
14 работ на разные темы с блестящими новы
ми научными результатами, из которых не
верным оказался только один, но об этом
Я был поражн тем, насколько близко мы подошли к мировому уровню
Фрагменты интервью известного российского математика, академика
РАН В.И. Арнольда (1937 2010) интернет изданию GZT.RU (2007 год)
Как известно, Эндрю Уайлс представил сво доказательство Великой теоремы Ферма. И это
доказательство признано мировым математическим сообществом. Но это признание факти
чески представляет блефом письменное заявление Пьера Ферма. Осознанию абсурдности
такого признания послужит недавний бестселлер Саймона Сингха Великая теорема Ферма.
История загадки, которая занимала лучшие умы мира на протяжении 358 лет, изданный в
Лондоне, и в переводе МЦНМО в Москве. Выдержки из него далее заключены в кавычки.